Ratio and Proportion सभी प्रकार हल सहित।

अनुपात और समानुपात के मूल सिद्धांत

अनुपात (Ratio) दो या दो से अधिक समान प्रकार की राशियों के बीच के संबंध को दर्शाता है। यह बताता है कि एक राशि, दूसरी राशि का कितना गुना है। अनुपात को अक्सर भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है।

• अनुपात को a : b के रूप में लिखा जाता है, जिसका अर्थ है a/b​।

समानुपात (Proportion) दो अनुपातों की समानता को दर्शाता है। यदि a : b और c : d दो अनुपात हैं और वे समान हैं, तो इसे a:b::c:d के रूप में लिखा जाता है। इसका अर्थ है a/b​=c/d​।

• इसमें, a और d को चरम पद (extreme terms) और b और c को मध्य पद (mean terms) कहा जाता है।
• नियम: चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (a×d=b×c)

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अनुपात और समानुपात के विभिन्न प्रकार और उनके हल

प्रकार 1: अनुपातों का सरलीकरण (Simplification of Ratios)

इस प्रकार में, आपको दिए गए अनुपात को उसके सबसे सरल रूप में बदलना होता है।

सवाल: 120 और 150 का अनुपात ज्ञात करें।

हल:

120:150

अनुपात को सरल करने के लिए, दोनों संख्याओं को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) से भाग दें। 120 और 150 का HCF 30 है।

120/30​:150​/30

4:5

उत्तर: 4 : 5

प्रकार 2: अनुपातों को जोड़ना या मिलाना (Combining or Merging Ratios)

जब आपको दो या दो से अधिक अलग-अलग अनुपात दिए हों, तो उन्हें मिलाकर एक संयुक्त अनुपात बनाना।

सवाल: यदि A:B=2:3 और B:C=4:5 है, तो A:B:C का अनुपात ज्ञात करें।

हल:

A:B=2:3

B:C=4:5

यहाँ B दोनों में उभयनिष्ठ (common) है। B को समान बनाने के लिए, पहले अनुपात को 4 से और दूसरे अनुपात को 3 से गुणा करें।

A:B=(2×4):(3×4)=8:12

B:C=(4×3):(5×3)=12:15

अब, B समान है।

A:B:C=8:12:15

उत्तर: 8 : 12 : 15

प्रकार 3: समानुपात के अज्ञात पद ज्ञात करना (Finding Unknown Terms in Proportion)

यह समानुपात के नियम (a×d=b×c) पर आधारित है।

सवाल: यदि 2:5::x:15 है, तो x का मान ज्ञात करें।

हल:

• चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल
• 2×15=5×x
• 30=5x
• x=30/5​=6

उत्तर: 6

प्रकार 4: अनुपाती विभाजन (Proportional Division)

किसी राशि को दिए गए अनुपात में विभाजित करना।

सवाल: ₹1200 को A और B में 3:2 के अनुपात में बाँटें।

हल:

• अनुपाती भागों का योग = 3+2=5
• A का हिस्सा = 3/5​×1200=3×240=₹720
• B का हिस्सा = 2/5​×1200=2×240=₹480

उत्तर: A को ₹720 और B को ₹480 मिलेंगे।

प्रकार 5: सिक्कों पर आधारित सवाल (Problems based on Coins)

इस प्रकार में, आपको विभिन्न मूल्यवर्ग के सिक्कों की संख्या का अनुपात दिया जाता है।

सवाल: एक बैग में ₹1, ₹2 और ₹5 के सिक्के 4:3:2 के अनुपात में हैं। यदि बैग में कुल ₹180 हैं, तो ₹5 के सिक्कों की संख्या ज्ञात करें।

हल:

• मान लीजिए सिक्कों की संख्या 4x, 3x और 2x है।
• सिक्कों का कुल मूल्य: (₹1×4x)+(₹2×3x)+(₹5×2x)
• 4x+6x+10x=20x
• 20x=180
• x=20180​=9
• ₹5 के सिक्कों की संख्या = 2x=2×9=18

उत्तर: ₹5 के सिक्कों की संख्या 18 है।

प्रकार 6: आयु पर आधारित सवाल (Problems based on Age)

जब दो या दो से अधिक व्यक्तियों की वर्तमान या भविष्य की आयु का अनुपात दिया हो।

सवाल: A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3:4 है। 5 साल बाद उनकी आयु का अनुपात 4:5 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।

हल:

• वर्तमान आयु: A = 3x, B = 4x
• 5 साल बाद: A = 3x+5, B = 4x+5
• प्रश्न के अनुसार: 4x+5/3x+5​=5/4​
• 5(3x+5)=4(4x+5)
• 15x+25=16x+20
• 16x−15x=25−20
• x=5
• वर्तमान आयु: A = 3x=3×5=15 वर्ष, B = 4x=4×5=20 वर्ष

उत्तर: A की वर्तमान आयु 15 वर्ष और B की 20 वर्ष है।

प्रकार 7: मिश्रण पर आधारित सवाल (Problems based on Mixtures)

जब दो या दो से अधिक चीजों को किसी निश्चित अनुपात में मिलाया जाता है।

सवाल: 80 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। इसमें कितना पानी और मिलाया जाए ताकि नया अनुपात 2:1 हो जाए?

हल:

• दूध की मात्रा = 7/10​×80=56 लीटर
• पानी की मात्रा = 3/10​×80=24 लीटर
• मान लीजिए x लीटर पानी और मिलाया गया।
• 24+x/56​=1/2​
• 56×1=2×(24+x)
• 56=48+2x
• 2x=56−48=8
• x=4 लीटर

उत्तर: 4 लीटर पानी और मिलाना होगा।

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अभ्यास के लिए 50 सवाल

1. 250 और 350 का सरलतम अनुपात क्या है?
2. ₹800 और ₹1200 का अनुपात क्या है?
3. यदि A:B=3:5 और B:C=10:7 है, तो A:B:C क्या होगा?
4. यदि A:B=2:3, B:C=4:5, और C:D=6:7 है, तो A:D क्या होगा?
5. 3:8::x:24 में x का मान ज्ञात करें।
6. 15:20::12:y में y का मान ज्ञात करें।
7. ₹1800 को A और B में 7:5 के अनुपात में बाँटें।
8. ₹4500 को P, Q और R में 2:3:4 के अनुपात में बाँटें।
9. एक बैग में ₹10, ₹5 और ₹2 के सिक्के 3:4:5 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य ₹140 है, तो ₹5 के सिक्कों की संख्या क्या है?
10. एक बैग में 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्के 2:3:4 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य ₹40 है, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या है?
11. राम और श्याम की वर्तमान आयु का अनुपात 5:6 है। 4 साल बाद, उनकी आयु का अनुपात 6:7 हो जाएगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।
12. A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 2:3 है। 10 साल पहले, उनकी आयु का अनुपात 1:2 था। A की वर्तमान आयु क्या है?
13. 40 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:1 है। इसमें कितना पानी मिलाया जाए ताकि नया अनुपात 2:1 हो जाए?
14. 50 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 3:2 है। इसमें कितना दूध और मिलाया जाए ताकि नया अनुपात 2:1 हो जाए?
15. दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है। यदि दोनों में 5 जोड़ा जाए, तो नया अनुपात 4:5 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।
16. दो संख्याओं का अनुपात 5:7 है। यदि दोनों में से 10 घटाया जाए, तो नया अनुपात 2:3 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।
17. यदि a:b=3:4 और b:c=8:9 है, तो a:c क्या होगा?
18. यदि A:B=21​:31​ और B:C=41​:51​ है, तो A:B:C क्या होगा?
19. यदि A का 20% B के 30% के बराबर है, तो A:B क्या होगा?
20. यदि a:b=3:4 है, तो (3a+2b):(4a+5b) का मान क्या होगा?
21. ₹6000 को P, Q और R में इस प्रकार बाँटें कि P को Q का 32​ और Q को R का 21​ मिले।
22. एक मिश्रण में 80% दूध है। यदि 100 लीटर मिश्रण में 20 लीटर पानी मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?
23. ₹400 को दो भागों में इस प्रकार बाँटें कि पहले भाग का 41​ दूसरे भाग के 61​ के बराबर हो।
24. यदि 3a​=4b​=5c​ है, तो a:b:c क्या होगा?
25. 12, 18 और 30 का चौथा समानुपाती (fourth proportional) क्या है?
26. 9 और 16 का मध्यानुपाती (mean proportional) क्या है?
27. 4 और 6 का तृतीय समानुपाती (third proportional) क्या है?
28. 4800 को A, B और C में 3:5:4 के अनुपात में बाँटें। B का हिस्सा क्या है?
29. यदि A:B=5:8 और B:C=4:7 है, तो A:C क्या होगा?
30. 180 लीटर के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:2 है। कितना दूध और मिलाया जाए ताकि नया अनुपात 8:1 हो जाए?
31. दो संख्याओं का गुणनफल 216 है और उनका अनुपात 2:3 है। संख्याएँ ज्ञात करें।
32. एक बैग में 25 पैसे और 50 पैसे के सिक्के 3:4 के अनुपात में हैं। यदि कुल राशि ₹35 है, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या है?
33. यदि (2x+3):(5x−4)::3:5 है, तो x का मान ज्ञात करें।
34. एक कक्षा में लड़के और लड़कियों का अनुपात 4:5 है। यदि 10 लड़के और आ जाएं, तो अनुपात 6:5 हो जाता है। लड़कियों की संख्या क्या है?
35. यदि a:b=5:6 है, तो (6a+3b):(5a+2b) का मान क्या होगा?
36. 10 और 25 का तृतीय समानुपाती क्या है?
37. दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है और उनका योग 48 है। संख्याएँ ज्ञात करें।
38. एक मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5:2 है। यदि इसमें 14 लीटर पानी और मिलाया जाए, तो नया अनुपात 2:1 हो जाता है। मिश्रण की प्रारंभिक मात्रा क्या थी?
39. यदि a:b=2:3, b:c=3:4 है, तो a:c क्या होगा?
40. 3000 को A, B, C में इस प्रकार बाँटें कि A को B का आधा मिले और C को B का एक-तिहाई मिले।
41. दो संख्याओं का अनुपात 3:4 है और उनका अंतर 12 है। संख्याएँ ज्ञात करें।
42. यदि a=31​b और b=21​c है, तो a:b:c क्या होगा?
43. एक राशि को P, Q और R में 2:5:7 के अनुपात में बाँटा गया। यदि R का हिस्सा P से ₹1500 अधिक है, तो कुल राशि क्या थी?
44. यदि x:y=3:4 है, तो 7x+6y4x+5y​ का मान ज्ञात करें।
45. ₹500 को A, B, C में इस प्रकार बाँटें कि A और B का अनुपात 2:3 हो, और B और C का अनुपात 4:5 हो।
46. 35 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 4:1 है। 5 लीटर पानी और मिलाने पर नया अनुपात क्या होगा?
47. यदि a:b=7:5 है, तो a−ba+b​ का मान ज्ञात करें।
48. 14, 21 का तृतीय समानुपाती क्या है?
49. 25 और 36 का मध्यानुपाती क्या है?
50. एक कक्षा में लड़के और लड़कियों का अनुपात 5:3 है। यदि कक्षा में कुल 48 छात्र हैं, तो लड़कों की संख्या क्या है?

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उत्तर (केवल उत्तर)

1. 150
2. 300
3. 300
4. 800
5. 3:4
6. 25%
7. 30%
8. 10%
9. 40.4%
10. 20.83%
11. 36
12. 15
13. 22
14. 30
15. 24
16. 33.33
17. 18
18. 40
19. 24
20. 21
21. 3:4
22. 2:3
23. 18:25:20
24. 8:7
25. 6:5
26. 2.5
27. 48:52
28. 200:150
29. 15, 20
30. 25, 35
31. 6:8
32. 240
33. 24
34. 16
35. 2400
36. 13
37. 25
38. 50
39. 15, 33
40. 3200
41. 10
42. 18
43. 6, 9
44. 4
45. 28, 48
46. 36, 48
47. 48
48. 1 : 3 : 6
49. 240
50. 21, 28