🔢 LCM और HCF पर आधारित प्रश्न

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) और HCF (महत्तम समापवर्तक) के चार मुख्य प्रकार के प्रश्न होते हैं:

1. संख्याओं का मूल LCM/HCF ज्ञात करना

प्रश्न 1: संख्याओं 15, 20 और 30 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):

1. HCF (महत्तम समापवर्तक): 15=3×5 ,20=2×2×5 , 30=2×3×5 तीनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) केवल 5 है। HCF = 5
2. LCM (लघुत्तम समापवर्त्य): सभी गुणनखंडों की अधिकतम घात: 2²×3¹×5¹ ,4×3×5=60 LCM = 60

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2. भिन्नों का LCM और HCF

प्रश्न 2: भिन्नों 2/3, 4/5 और 6/7 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):

भिन्नों का LCM= अंशों का LCM​/ हरों का HCF

1. अंशों का LCM (2, 4, 6): 2,4,6 का LCM है 12।
2. हरों का HCF (3, 5, 7): 3,5,7 सभी अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) हैं, इसलिए इनका HCF है 1।
3. LCM =12/1=12

उत्तर: 12

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3. LCM/HCF पर आधारित शब्द समस्याएं (घंटियाँ/दौड़)

प्रश्न 3: तीन घंटियाँ क्रमशः 10, 15 और 20 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे सुबह 9:00 बजे एक साथ बजी थीं, तो अगली बार वे कब एक साथ बजेंगी?

हल (Solution): अगली बार एक साथ बजने का समय ज्ञात करने के लिए हमें 10,15 और 20 का LCM निकालना होगा।

1. LCM ज्ञात करना: 10=2×5, 15=3×5 ,20=22×5, LCM =2²×3×5=4×3×5=60
2. समय ज्ञात करना: LCM 60 है, जिसका अर्थ है वे 60 मिनट बाद (यानी 1 घंटे बाद) एक साथ बजेंगी। अगला समय =9:00 बजे+1 घंटा=10:00 बजे

उत्तर: अगली बार वे सुबह 10:00 बजे एक साथ बजेंगी।

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4. शेषफल पर आधारित HCF समस्या

प्रश्न 4: वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 135 और 200 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।

हल (Solution): चूँकि शेषफल 5 है, हम पहले दोनों संख्याओं में से 5 घटाएँगे।

1. नई संख्याएँ: 135−5=130, 200−5=195
2. HCF ज्ञात करना: अब हम 130 और 195 का HCF ज्ञात करेंगे। 130=2×5×13, 195=3×5×13 HCF = उभयनिष्ठ गुणनखंड 5×13=65

उत्तर: वह सबसे बड़ी संख्या 65 है।

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🧮 भिन्न (Fractions) पर आधारित प्रश्न

भिन्न के मुख्य प्रकार जोड़, घटाव, तुलना और मिश्रित भिन्न पर आधारित होते हैं।

5. भिन्नों का जोड़ और घटाव

प्रश्न 5: हल कीजिए: 3/4+1/2−5/8

हल (Solution):

1. हरों का LCM: हरों (4, 2, 8) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 8 है।
2. समान हर: सभी भिन्नों को हर 8 के साथ बदलें। 3/4=(3×2)/(4×2)=6/8 1/2=(1×4)/(2×4)=4/8
3. हल करना:

6/8+4/8−5/8

=(6+4−5)/8

=5/8

उत्तर: 5/8

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6. भिन्नों की तुलना (सबसे बड़ी/छोटी भिन्न)

प्रश्न 6: भिन्नों 2/3, 5/6 और 3/4 में सबसे बड़ी भिन्न कौन सी है?

हल (Solution):

1. हरों का LCM: हरों (3, 6, 4) का LCM 12 है।
2. समान हर: सभी भिन्नों को हर 12 के साथ बदलें। 2/3=(2×4)/(3×4)=8/12 5/6=(5×2)/(6×2)=10/12 3/4=(3×3)/(4×3)=9/12
3. तुलना: 8/12, 10/12, 9/12 में, सबसे बड़ा अंश (10) है।

उत्तर: सबसे बड़ी भिन्न 5/6 है।

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7. मिश्रित भिन्नों का उपयोग

प्रश्न 7: हल कीजिए: 2 और 1/3+1 और 1/6 (या 231​+161​)

हल (Solution):

1. मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलना: 2 और 1/3=(2×3+1)/3=7/3 1 और 1/6=(1×6+1)/6=7/6
2. जोड़ना: हरों (3, 6) का LCM 6 है।

7/3+7/6

=(7×2)/(3×2)+7/6

=14/6+7/6

=(14+7)/6=21/6

3. सरलतम रूप: 21/6 को 3 से भाग देने पर: 7/2 या मिश्रित भिन्न में: 3 और 1/2

उत्तर: 7/2 (या 3 और 1/2)

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8. भिन्नों का गुणा और भाग

प्रश्न 8: हल कीजिए: (3/5×10/9)÷2/3

हल (Solution):

1. कोष्ठक के अंदर गुणा:

(3/5×10/9)=(3×10)/(5×9)=30/45

30/45 को 15 से सरल करने पर: 2/3

2. भाग (Division): भाग को गुणा में बदलने के लिए दूसरे भिन्न का व्युत्क्रम (Reciprocal) करें।

2/3÷2/3=2/3×3/2

=(2×3)/(3×2)=6/6=1

उत्तर: 1

📚 LCM, HCF और भिन्नों पर 96 अभ्यास प्रश्न और उत्तर

1. संख्याओं का मूल LCM/HCF ज्ञात करना

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P1.1	संख्याओं 12, 18 और 30 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।	LCM: 180, HCF: 6
P1.2	संख्याओं 14 और 21 का LCM क्या होगा?	42
P1.3	संख्याओं 45, 75 और 105 का HCF क्या होगा?	15
P1.4	संख्याओं 8, 16 और 32 का LCM क्या होगा?	32
P1.5	संख्याओं 10, 15 और 25 का HCF ज्ञात कीजिए।	5
P1.6	दो संख्याओं 6 और 11 का LCM क्या होगा?	66
P1.7	संख्याओं 2, 4, 8, 16 का LCM ज्ञात कीजिए।	16
P1.8	संख्याओं 105 और 165 का HCF ज्ञात कीजिए।	15
P1.9	संख्याओं 100 और 150 का LCM क्या होगा?	300
P1.10	संख्याओं 5, 7 और 13 का HCF क्या होगा?	1
P1.11	50 और 75 का LCM और HCF ज्ञात कीजिए।	LCM: 150, HCF: 25
P1.12	9 और 27 का LCM क्या होगा?	27

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2. भिन्नों का LCM और HCF

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P2.1	भिन्नों 1/2, 3/4 और 5/6 का LCM ज्ञात कीजिए।	15/1 या 15
P2.2	भिन्नों 2/3 और 4/5 का HCF क्या होगा?	2/15
P2.3	भिन्नों 1/3, 2/9 और 5/6 का LCM क्या होगा?	10/3
P2.4	भिन्नों 6/7 और 3/14 का HCF ज्ञात कीजिए।	3/14
P2.5	भिन्नों 1/5, 2/10 और 3/15 का LCM क्या होगा?	1/1 या 1
P2.6	भिन्नों 7/8 और 5/12 का HCF क्या होगा?	1/24
P2.7	भिन्नों 5/4, 3/8 और 1/16 का LCM ज्ञात कीजिए।	15/1 या 15
P2.8	भिन्नों 10/3 और 20/9 का HCF ज्ञात कीजिए।	10/9
P2.9	भिन्नों 1/10, 1/20 और 1/30 का LCM क्या होगा?	1/1 या 1
P2.10	भिन्नों 1/2, 1/3 और 1/4 का HCF क्या होगा?	1/12
P2.11	भिन्नों 3/5 और 6/7 का LCM ज्ञात कीजिए।	6/1 या 6
P2.12	भिन्नों 2/5, 4/15 और 6/25 का HCF क्या होगा?	2/75

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3. LCM/HCF पर आधारित शब्द समस्याएं (घंटियाँ/दौड़)

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P3.1	तीन घंटियाँ क्रमशः 12, 15 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे 10:00 बजे एक साथ बजी थीं, तो अगली बार कब बजेंगी?	1:00 बजे
P3.2	एक वृत्ताकार पथ पर A, B और C क्रमशः 10, 15 और 20 सेकंड में एक चक्कर पूरा करते हैं। वे तीनों एक साथ शुरू करने के बाद कितने समय बाद फिर मिलेंगे?	60 सेकंड
P3.3	दो टैंकरों में क्रमशः 850 लीटर और 680 लीटर तेल है। उस अधिकतम क्षमता के कंटेनर का आकार क्या है जो दोनों टैंकरों के तेल को पूरा-पूरा माप सकता है?	170 लीटर
P3.4	तीन ट्रैफिक लाइट क्रमशः 30, 45 और 60 सेकंड के अंतराल पर बदलती हैं। यदि वे सुबह 8:30 बजे एक साथ बदली थीं, तो अगली बार कब एक साथ बदलेंगी?	8:33 बजे
P3.5	एक आयताकार हॉल की लंबाई 10 मीटर और चौड़ाई 8 मीटर है। हॉल के फर्श पर बिछाने के लिए सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल का आकार क्या होगा?	2 मीटर × 2 मीटर
P3.6	वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 12 और 15 से पूर्णतः विभाज्य हो।	120
P3.7	तीन धावक 200 मीटर के वृत्ताकार ट्रैक पर क्रमशः 20, 25 और 40 सेकंड में एक चक्कर पूरा करते हैं। वे शुरुआती बिंदु पर कितनी देर बाद फिर मिलेंगे?	200 सेकंड
P3.8	वह सबसे लंबी रस्सी की लंबाई क्या है जिससे 42 मीटर और 70 मीटर की लंबाई को पूरी तरह से मापा जा सके?	14 मीटर
P3.9	चार घंटियाँ क्रमशः 5, 6, 8 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। वे 1 घंटे में कितनी बार एक साथ बजेंगी?	30 बार
P3.10	दो संख्याओं का गुणनफल 216 है। यदि उनका HCF 6 है, तो उनका LCM क्या होगा?	36
P3.11	वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6 और 8 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 3 बचे।	27
P3.12	1000 और 2000 के बीच वह संख्या क्या है जो 30, 36 और 45 से पूर्णतः विभाज्य है?	1800

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4. शेषफल पर आधारित HCF समस्या

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P4.1	वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जिससे 245 और 1029 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो?	24
P4.2	वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 65 और 95 को भाग देने पर क्रमशः 5 और 7 शेषफल प्राप्त हो।	12
P4.3	वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 77, 147 और 252 को भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त हो।	35
P4.4	वह बड़ी से बड़ी संख्या क्या है जो 1050, 1250 और 1650 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में शेषफल 50 देती है?	200
P4.5	वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जिससे 148 और 300 को भाग देने पर क्रमशः 4 और 6 शेषफल प्राप्त हो?	24
P4.6	वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 43 और 91 को भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त हो।	6
P4.7	वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जो 162, 324 और 486 को पूर्णतः विभाजित करती है?	162
P4.8	वह छोटी से छोटी संख्या क्या है जिसे 10, 15 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 4 शेष बचे?	64
P4.9	वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 110 और 190 को भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 5 शेष बचे।	17
P4.10	वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जिससे 20, 32 और 44 को भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त हो?	12
P4.11	वह संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 18, 30 और 42 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष बचे।	3
P4.12	100 और 200 के बीच वह सबसे बड़ी संख्या क्या है जिसे 6, 9 और 12 से भाग देने पर 5 शेषफल प्राप्त हो?	185

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5. भिन्नों का जोड़ और घटाव

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P5.1	1/3+2/5 को हल कीजिए।	11/15
P5.2	5/6−1/3 का मान ज्ञात कीजिए।	1/2
P5.3	1/2+3/4−1/8 को सरल कीजिए।	9/8
P5.4	2/7+3/7 का मान क्या होगा?	5/7
P5.5	4/5−1/2 को हल कीजिए।	3/10
P5.6	1/2+1/3+1/6 का मान क्या होगा?	1/1 या 1
P5.7	5/12−1/6 को सरल कीजिए।	1/4
P5.8	1−3/4 का मान क्या होगा?	1/4
P5.9	3/10+7/10−1/2 को हल कीजिए।	1/2
P5.10	1/4+1/8+1/16 का मान ज्ञात कीजिए।	7/16
P5.11	5/9+1/3 का मान क्या होगा?	8/9
P5.12	2/5−1/5+3/5 को सरल कीजिए।	4/5

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6. भिन्नों की तुलना (सबसे बड़ी/छोटी भिन्न)

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P6.1	3/5, 4/7 और 5/8 में सबसे बड़ी भिन्न कौन सी है?	5/8
P6.2	1/3, 2/5 और 3/10 में सबसे छोटी भिन्न कौन सी है?	3/10
P6.3	भिन्नों 7/8 और 5/6 में कौन सी भिन्न बड़ी है?	7/8
P6.4	भिन्नों 4/9, 5/12 और 2/3 को आरोही क्रम (Ascending Order) में व्यवस्थित करें।	5/12,4/9,2/3
P6.5	1/4, 1/5, 1/6 में सबसे छोटी भिन्न कौन सी है?	1/6
P6.6	भिन्नों 1/2, 5/8 और 3/4 को अवरोही क्रम (Descending Order) में व्यवस्थित करें।	3/4,5/8,1/2
P6.7	11/12 और 9/10 में कौन सी भिन्न छोटी है?	9/10
P6.8	भिन्नों 13/15 और 14/17 में कौन सी भिन्न बड़ी है?	13/15
P6.9	3/7, 4/5 और 1/2 में सबसे बड़ी भिन्न कौन सी है?	4/5
P6.10	1/2, 1/4, 1/8, 1/16 में सबसे छोटी भिन्न कौन सी है?	1/16
P6.11	भिन्नों 2/5, 3/4 और 1/2 में सबसे छोटी भिन्न कौन सी है?	2/5
P6.12	7/11 और 5/9 में कौन सी भिन्न बड़ी है?	7/11

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7. मिश्रित भिन्नों का उपयोग

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P7.1	1 और 1/2+2 और 1/4 का मान ज्ञात कीजिए।	3 और 3/4 या 15/4
P7.2	3 और 1/5−1 और 1/10 को सरल कीजिए।	2 और 1/10 या 21/10
P7.3	2 और 1/3×1 और 1/4 का मान क्या होगा?	2 और 11/12 या 35/12
P7.4	5 और 1/2÷1 और 3/4 का मान क्या है?	3 और 1/7 या 22/7
P7.5	4 और 1/2+3/4 का मान ज्ञात कीजिए।	5 और 1/4 या 21/4
P7.6	2 और 1/6−5/6 को सरल कीजिए।	1 और 1/3 या 4/3
P7.7	1 और 1/4+1/2 का मान क्या होगा?	1 और 3/4 या 7/4
P7.8	5 और 1/2×2 का मान ज्ञात कीजिए।	11/1 या 11
P7.9	6 और 1/4÷5 का मान क्या है?	1 और 1/4 या 5/4
P7.10	10−2 और 1/3 को सरल कीजिए।	7 और 2/3 या 23/3
P7.11	1 और 1/5+1 और 1/10 का मान ज्ञात कीजिए।	2 और 3/10 या 23/10
P7.12	4 और 3/8−1/4 का मान क्या होगा?	4 और 1/8 या 33/8

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8. भिन्नों का गुणा और भाग

क्र.सं.	प्रश्न (Question)	उत्तर (Answer)
P8.1	3/4×8/9 का मान ज्ञात कीजिए।	2/3
P8.2	5/7÷10/21 को सरल कीजिए।	3/2
P8.3	(1/2×4/5)÷2/5 का मान क्या होगा?	1/1 या 1
P8.4	1/2÷1/2×1/2 का मान क्या है?	1/2
P8.5	(3/5×10/3)÷2 को सरल कीजिए।	1/1 या 1
P8.6	15/16×4/5 का मान ज्ञात कीजिए।	3/4
P8.7	2/3÷4 का मान क्या होगा?	1/6
P8.8	1/4×1/4÷1/2 को सरल कीजिए।	1/8
P8.9	(5÷1/2)×1/10 का मान क्या होगा?	1/1 या 1
P8.10	1/(1/3×9) का मान ज्ञात कीजिए।	1/3
P8.11	6/7÷(3/7×2) को सरल कीजिए।	1/1 या 1
P8.12	1/(1/2×4) का मान क्या होगा?	1/2